Trong đó, công trình nghiên cứu “Tính tổng quát của bài toán tối ưu nửa đại số: Tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức trên một tập nửa đại số (là tập được xác định bởi các phương trình và bất phương trình đa thức)” được đề cử Giải chính Giải thưởng Tạ Quang Bửu năm 2020.
PGS.TS Phạm Tiến Sơn. Ảnh: hanoimoi.com.vn
Gần 30 năm gắn bó với Đà Lạt
Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn cho biết: Ông thích toán từ những năm học Trung học Phổ thông. Bởi vậy, ông đã theo học ngành Toán tại Trường Đại học Đà Lạt từ năm 1981 và ở lại Trường Đại học Đà Lạt làm công tác giảng dạy và nghiên cứu cho đến giờ. Chính những năm học đại học, Giáo sư Nguyễn Hữu Đức đã truyền cảm hứng và hướng ông đến với Lý thuyết kỳ dị khi Giáo sư Nguyễn Hữu Đức giảng chuyên đề liên quan đến chuyên ngành Lý thuyết kỳ dị. Sau này, ông tiếp tục học và nghiên cứu ở bậc cao học.
Năm 1994, Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn làm nghiên cứu sinh tại Viện Toán học – Hà Nội dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Hà Huy Vui. Các nghiên cứu tập trung vào tính chất hình học, tô-pô (một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính còn được bảo toàn qua các sự biến dạng, sự xoắn và sự kéo giãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính) và đặc biệt là hiện tượng kỳ dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức… Đến khoảng năm 2005, Giáo sư Hà Huy Vui và Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn bắt đầu tìm hiểu một số vấn đề trong tối ưu nửa đại số. Điều này khá tự nhiên do nghiệm của bài toán tối ưu có quan hệ mật thiết đến hiện tượng kỳ dị (địa phương và tại vô hạn). Đặc biệt, năm 2008 - 2009, sử dụng một định lý biểu diễn tổng các bình phương của đa thức không âm trên tập nửa đại số (không nhất thiết compact), đã chỉ ra rằng có thể tìm giá trị tối ưu của một hàm đa thức trên tập nửa đại số bất kỳ bằng cách giải một dãy các bài toán quy hoạch nửa xác định. Sau một vài thành công, Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn tiếp tục nghiên cứu nhiều hơn vào lĩnh vực tối ưu nửa đại số.
Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn chia sẻ: "Gần 30 năm gắn bó với Đà Lạt hay nhiều người nói tôi “ẩn cư” tại nơi này để tiến hành các nghiên cứu, nhiều công trình đã hình thành và hoàn thiện tại đây. Đặc biệt, công trình “Generic properties for semialgebraic programs” được viết chung với Giáo sư Gue Myung Lee (Đại học Quốc gia Pukyong, Hàn Quốc) xuất bản trên tạp chí SIAM Journal on Optimization năm 2017, là công trình nghiên cứu bài toán tối ưu nửa đại số: Tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức trên một tập nửa đại số (là tập được xác định bởi các phương trình và bất phương trình đa thức). Bài toán “NP-hard” thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt sau khi bài báo “Global optimization with polynomials and the problem of moments” của Jean Bernard Lasserre được xuất bản trên tạp chí SIAM Journal on Optimization năm 2001. Trong bài báo sử dụng các kết quả từ hình học đại số thực và giải tích hàm, lasserre đã chỉ ra rằng để tìm giá trị tối ưu của hàm đa thức trên tập nửa đại số compact có thể giải một dãy các bài toán quy hoạch nửa xác định (là những bài toán quy hoạch lồi có thể giải một cách hiệu quả bằng thuật toán điểm trong)".
Nghiên cứu toán học - nhiều điều thú vị
Công trình nghiên cứu “Tính tổng quát của bài toán tối ưu nửa đại số: Tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức trên một tập nửa đại số” nhằm nghiên cứu một vấn đề cơ bản của toán học và ứng dụng của nó. Câu hỏi chính đặt ra là xây dựng một thuật toán hiệu quả xác định giá trị tối ưu của bài toán, dựa trên các công cụ của hình học nửa đại số. Công trình nghiên cứu đã chỉ ra hai đóng góp chính: Về mặt lý thuyết, công trình nghiên cứu chứng minh với hầu hết các bài toán tối ưu nửa đại số. Về mặt ứng dụng, dựa vào các kết quả nghiên cứu, chứng tỏ nghiệm tối ưu của hầu hết các bài toán tối ưu đa thức hoàn toàn được xác định bằng cách giải một số hữu hạn các bài toán quy hoạch nửa xác định (là những bài toán quy hoạch lồi có thể giải một cách hiệu quả bằng thuật toán điểm trong); dãy bài toán sau được xây dựng một cách tường minh; nghiên cứu tính tổng quát của lớp các bài toán tối ưu nửa đại số với các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức… Các kết quả trên cùng với một kết quả chuẩn về sự tồn tại các tiêu chuẩn tổng các bình phương chỉ ra rằng có thể xây dựng một dãy các bài toán quy hoạch nửa xác định sao cho dãy nghiệm của các bài toán này sinh ra một dãy các điểm hội đến nghiệm bài toán ban đầu sau hữu hạn bước.
Trong công trình nghiên cứu, dựa trên một vài ý tưởng của Lý thuyết kỳ dị và sử dụng các công cụ của hình học nửa đại số đã chứng minh những giả thiết quan trọng trong tối ưu là hoàn toàn “tự nhiên” và hơn nữa, nghiệm của hầu hết các bài toán tối ưu nửa đại số hoàn toàn được xác định sau khi giải một số hữu hạn các bài toán quy hoạch nửa xác định.
Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn khẳng định: "Nghiên cứu toán học có rất nhiều điều thú vị, tôi cùng các đồng nghiệp đang xây dựng những tính chất tổng quát cho lớp bài toán tối ưu nửa đại số có cấu trúc phức tạp ở đó hàm mục tiêu và tập ràng buộc phụ thuộc (phi tuyến) vào tham số, điều này cần những ý tưởng mới để giải quyết bài toán tổng quát này". Bên cạnh đó, Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn cũng mong muốn nghiên cứu tính tổng quát các thuật toán trong tối ưu sử dụng công cụ của hình học nửa đại số và lý thuyết hệ động lực.
Phó Giáo sư, Tiến sĩ Phạm Tiến Sơn sẽ tiếp tục gắn bó với Đà Lạt bởi niềm đam mê khoa học, nghiên cứu, đồng thời mong muốn học hỏi và khám phá cái mới để tạo những động lực gắn bó lâu dài với nghiên cứu khoa học. Dù ở nơi điều kiện còn khó khăn lại xa các trung tâm lớn như Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh nhưng nhờ sự phát triển của internet, các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước cũng như của cá nhân được phổ biến nhanh chóng, rộng rãi.